Είσαι σίγουρος ότι ξέρει?

Standard

Κάποτε είχα διαβάσει κάτι. Σε μία τάξη του Τζων Χολτ* είχε συμβεί το εξής που είχε συμβεί πάνω κάτω το ίδιο και σε μένα και τον μικρό μου αδερφό πολύ πρόσφατα. Υπάρχουν άπειρα ανάλογα προβλήματα.

Το πρόβλημα ήταν «διαιρέστε το 6 με το 1/2». Το μεγάλο πρόβλημα στα μαθηματικά ήταν και θα είναι η γλώσσα.

Μια πατέντα της διαίρεσης είναι το «πόσες φορές χωράει το ….. στο …..». Στο συγκεκριμένο παράδειγμα αυτή η στρατηγική είναι ιδιαίτερα κερδοφόρα!! Το 1/2 χωράει στο 6, 12 φορές. Ένα διάγραμμα θα το επιβεβαιώσει γρήγορα!

Στις τελευταίες τάξεις του δημοτικού γίνεται ξεκάθαρα σαφές ότι το 1/2 είναι το μισό. Εγώ έχω διαπιστώσει μια μικρή εμμονή ως προς αυτό. Eπειδή είναι το πρώτο κλάσμα που προσπαθεί κάποιος να καταλάβει όλοι μας γνωρίζουμε καλύτερα τι είναι το 1/2 σε σχέση με το τι είναι το 1/3 το 3/5 κτλ… Είναι το μισό!! Μάλιστα νομίζω ότι νιώθουμε πιο άνετα αν μας βάλουν να φανταστούμε το 1/4 σε σχέση με το 1/3. Σκέψου ότι έχει να κόψεις μια τούρτα σε 4 ή 8 ή 2 κομμάτια και ότι έχεις να την κόψεις σε 3 ή 5. Το μισό και το μισό του μισού κτλ είναι πολύ πιο έυκολο. Έτσι στο σχολείο πολλά παιδάκια μαθαίνουν απ’έξω ότι το 1/2 είναι το μισό. Αυτό είναι έυκολο με την τούρτα αλλά δεν μπορούν να καταλάβουν πολλές φορές αυτή την ιδιότητα σε σχέση με τις πράξεις.

Μερικές μαθήτριες στο παράδεγμα που είχα κάποτε διαβάσει και ο αδερφός μου το ίδιο είπαν, «αν διαιρέσεις το 6 στο μισό του, πόσο θα είναι το κάθε μισό?». Όσο χαζό κι αν ακούγεται είναι ένα παιχνίδι με τις λέξεις.

6 : 3 Αν διαιρέσεις το 6 στα τρία πόσο κάνει? 2!

6 : 1/2 Άν διαιρέσεις το έξι στο μισό πόσο κάνει? 3!

Έτσι το αποτέλεσμα είναι 3! Και είναι πραγματικά πολύ δύσκολο να αλλάξεις γνώμη! Το πρόβλημα έχει τρία σκέλη. Ένα είναι καθαρά διαδικαστικό. Ενώ το «πόσες φορές χωράει» ισχύει και για ακεραίους και για κλάσματα το «αν διαιρέσεις το ….. στο …..» δεν ισχύει για τα κλάσματα! Αλλά είναι πολύ δύσκολο να εντοπίσει κανείς αυτή τη διαφορά όταν όλη η διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία κινείται πάνω σε μεθοδολογίες. Δεύτερο πρόβλημα είναι η κακή χρήση του ρήματος διαιρώ. Το «διαιρέστε ένα ευθύγραμμο τμήμα στα δύο» διαφέρει πολύ από το «βρείτε το μέσο του». Δεν μπορείς να διαιρέσεις ένα ευθύγραμμο τμήμα με τη έννοια που έχει το διαίρεσε το 6 με το 2. Γι αυτό η λέξη αυτή καταλήγει πολλές φορές σε σύγχυση. Και o αλγόριθμος της κλασσικής κάθετης διαίρεση όπου παπαγαλίζεται ένας τυφλοσούρτης κάνει τη διαίρεση ακόμα πιο απρόσιτη και λίγο τρομακτική γεμάτη μυστικά και παγίδες. Παγίδες που πολύ αμφιβάλλω αν επαγγελματίες μαθηματικοί έχουν καταλάβει. Το τρίτο πρόβλημα είναι και το πιο σημαντικό. Σχεδόν όλες τις φορές, αν δεν προσέχουμε ή δε μιλάμε με αυστηρή γλώσσα, τη διαίρεση με το 2 τη λέμε διαίρεση στο μισό. Διαιρέστε το 6 με το 2 ή αλλιώς διαιρέστε το 6 στο μισό του.

6 : 1/2 Άν διαιρέσεις το έξι στο μισό πόσο κάνει? 3!

Μεγάλη σπαζοκεφαλιά!

Πρέπει να τους αποδείξουμε ότι πρέπει να ακολουθήσουν τον άλλο τρόπο της διαίρεσης, δηλαδή το «πόσο χωράει…». Πάμε!! Φτιάχνοντας το διάγραμμα που αποδεικνύει ότι 6 : 1/2 = 12 φαίνεται ξεκάθαρα και καταλήγουμε ότι το 6 διαιρούμενο με το 1/2 κάνει 12.

Ναι ωραία, αλλά 12 τι? Ακολουθεί το λάθος που θα έκανε εξίσου ενήλικας και παιδί!

12 μισά!

Δηλαδή…… 12/2?

Δηλαδή 6? Αυτό είναι τελείως λάθος! Άρα η σωσττή απάντηση πρέπει να είναι τρία. Αυτός ο ορισμός διαίρεσης πρέπει να είναι λάθος. Ενώ ο προηγούμενος φαίνεται πιο λογικός. Το «πόσο χωράει» είναι λάθος Φωτεινή.

Είναι μεγάλο πρόβλημα. Εάν το παιδί γνωρίζει από κλάσματα μια καλή λύση είναι η εξής ψυχρολουσία:

Ωραία, πιστεύεις ότι 6 : 1/2 = 3. Θέλω τώρα να σκεφτείς αργά και να μου λύσεις αυτήν την πράξη:

6 * 1/2 = ……….. 3! Θα καταλήξει στο ότι πολλαπλασιασμός και διαίρεση με τους ίδιους μη μηδενικούς αριθμούς βγάζει το ίδιο αποτέλεσμα! Αυτή είναι μια αρχή!

Παραπέρα χρειάζεται μια ολόκληρη εξήγηση του ότι δεν μπορείς να μοιράσεις κάτι (το μοιράζω είναι συνώνυμο του διαιρώ στα σχολεία) σε κάτι το οποίο δεν είναι ολόκληρο ή είναι παραπάνω του ολόκληρου. Θα μοίραζε κανείς μια πλάκα σοκολάτα σε δυόμιση παδιά?

Υποθέτω βέβαια ότι το πολύ σημαντικό x : y/z = (x*z) / y δεν είναι λύση ανάγκης στην περίπτωση διαίρεσης με το 1/2. Τουλάχιστον ο αδερφός μου δεν το έκανε στην αρχή. Aλλά κάποια στιγμή το έκανε. Ήταν τόσο απηυδισμένος και απελπισμένος που είχε μια μεγάλη ανακούφιση και ένα στυλ, τελικά έχεις δίκιο! Όμως απείχε πολύ από την αλήθεια.

Αυτό αποδεικνύει κάτι ακόμα και μάλλον εδώ ήθελα να καταλήξω. Ένας μαθητής μπορεί να αριστεύει στα μαθηματικά, να λύνει τις ασκήσεις του και να μην κάνει ποτέ λάθος. Ένας μαθητής που θα χρησιμοποιούσε τον παραπάνω τύπο θα έλυνε την άσκηση σε ένα δευτερόλεπτο και μάλιστα ολόσωστα. Και θα ήταν ο πρώτος της τάξης. Αυτό θα θεωρούταν μεγάλο και σπουδαίο κατόρθωμα από γονείς και δασκάλους και στο κάτω κάτω ίσως και να είναι. Είναι σημαντικό να βγάζεις σωστά αποτελέσματα στα μαθηματικά, στο κάτω κάτω μετράμε τα λεφτά μας με αυτά. Αλλά αυτό δεν είναι απόδειξη ότι ξέρεις. Και δεν σχετίζεται με τη μαθηματική ευφυία. Ο μπασκεμπολίστας ή ο ποδοσφαιριστής μπορεί και να ξέρει πολύ καλύτερα μαθηματικά του επίπεδου χώρου απ’ ότι ο αρχιτέκτονας ή ο πολιτικός μηχανικός.

Και μου έρχεται και μια άλλη σκέψη στο μυαλό αλλά θα χαθούμε. Πώς αξιολογεί αυτή η εκπαίδευση την κατανόηση, την εμπέδωση και την ευφυία? Ειδικά στα μαθηματικά? Πιστεύω ότι δεν μπορεί καν να συλλάβει το έυρος της προβληματικής.

*Ο Τζων Χολτ έχει γράψει πάρα πολύ ωραία βιβλία και μου αρέσουν πολύ γιατί δεν απευθύνονται μόνο σε δασκάλους παρ’ όλο που φάινεται έτσι. Είναι πολύ διυσδειτικά για οποιονδήποτε νοιάζεται είτε για τα παιδιά είτε για τα παιχνίδια του μυαλού στη μάθηση που επαναλαμβάνονται σε πανεπιστήμια, εργασία, οικογένεια και γενικά παντού!

Advertisements

4 responses »

  1. Nτοϊνγκκκ!!!!!
    Σορρυ κιολας, αλλά διαφωνω πλήρως με την προσεγγιση σου. Οταν ενα παιδί φτάσει στην ταξη όπου περιλαμβάνεται στην ύλη μια τέτοια διαίρεση, θα πρέπει να έχει αφήσει πίσω προ πολλού την προσέγγιση του τύπου διαίρεση είναι το «πόσες φορές χωράει» και να κανει την απλοποιηση του κλασματος. Διαφορετικά και εγώ λάθος στο βγάζω. Γιατί μπερδεύεις τον αδερφό σου???? :-)

  2. ε? όπα όπα martini… πρώτον η προσέγγιση αυτή είναι η προσέγγιση που κι εσύ έχεις απλά δεν το καταλαβαίνεις! ποια είναι η χρησιμότητα της διαίρεσης αν όχι το πόσες φορές χωράει κάτι σε κάτι, ειδικά στο δημοτικό? και αυτήν τη προσέγγιση δεν την έχουν καταλάβει τα παιδιά όταν έρχεται στην ύλη μια τέτοια διαίρεση….

    την απλοποίηση που λες την κάνει κάποιος πού ΞΕΡΕΙ ότι το 1/2 χωράει 12 φορές στο 6 διαφορετικά δε θα καταλάβει ποτέ πώς συνδέονται οι τρεις αριθμοί. την κάνει κάποιος που έχει κατανοήσει ποσότητες και αναλογίες.

    άκου ντόινγκ!!! χεχε :P

  3. foteinoula, νομίζω ότι η φράση σου «Πώς αξιολογεί αυτή η εκπαίδευση την κατανόηση, την εμπέδωση και την ευφυία?» εμπεριέχει το αδιέξοδο στο οποίο έχει φτάσει στη χώρα μας η εκπαίδευση τόσο στο χώρο του σχολείου όσο και μέσα στο ίδιο μας το σπίτι. Όλοι ασχολούνται με το αν το εκάστοτε «αποτέλεσμα» (είτε μαθηματικό αποτέλεσμα, είτε αποτέλεσμα σκέψης) είναι σωστό, και όχι με το πώς οδηγείσαι στο αποτέλεσμα μέσα από λογικούς συνειρμούς. Έτσι προάγεται η παπαγαλία ως η πλέον ασφαλής μέθοδος για να φτάσεις στο αποτέλεσμα. Τελικά όμως έτσι οδηγείσαι σε σύγχυση ή παρανόηση των σωστών εννοιών των λέξεων (όπως συμβαίνει με την έννοια του μισού που σωστά αναφέρεις στο παράδειγμά σου).

    Το ζω (ή μάλλον το ακούω – για να ακριβολογώ κι εγώ :-)) καθημερινά αυτό με τη γυναίκα μου που είναι νηπιαγωγός. Μέσα από τη σχέση μου με μια νηπιαγωγό κατάφερα πραγματικά να απαλλαγώ από κάποια απαράδεκτα στερεότυπα (τα οποία έχουμε καταφέρει να ορίζουν τη ζωή μας) γύρω από την εκπαίδευση των παιδιών μας.

    Για παράδειγμα, δυστυχώς 99 στους 100 γονείς χαίρονται και καμαρώνουν που το καμάρι τους μπορεί να «μετράει» (ενώ το σωστό είναι παπαγαλίζει) από τ0 1 μέχρι το 10 ή το 20 πριν καν κλείσει τα 2 χρόνια του (άρα το καμάρι μας είναι σαΐνι), αλλά δεν κάθονται ποτέ να τα βοηθήσουν καταρχήν να διακρίνουν ως έννοιες το ένα από τα πολλά και στη συνέχεια τα πολλά από τα λίγα. Μόνο τότε θα μπορέσει πραγματικά το παιδί όχι απλά να «μετράει» αλλά διακρίνει τη διαφορά του 1 από το 2, του 2 από το 3, του 1 από το 3 κ.ο.κ., όπως και να «δει» τη συνέχεια των αριθμών ως μαθηματική σειρά.

    Ή άλλο κλασσικό παράδειγμα, που προσπαθούν οι γονείς να μάθουν σε ένα παιδί 4-5 χρονών να λέει την αλφαβήτα (άλφα-βήτα-γάμμα κ.λπ.) αντί να το βοηθήσουν να μάθει να διακρίνει τους ήχους στις λέξεις (α-βου-γου-δου κ.λπ.), ώστε από εκεί να οδηγηθεί διαισθητικά στη διάκριση των γραμμάτων που συνθέτουν τη λέξη. Μόνο έτσι θα μπορέσει μετά το παιδί να γράψει τη λέξη που ακούει, συνθέτοντας τους ήχους που ακούει, και φυσικά αδιαφορώντας – και έτσι είναι το σωστό στο πρώτο στάδιο της μάθησης της γραφής και ανάγνωσης – για την ορθογραφία: διερεσι ή δηερεση ή διερεσυ είναι σε αυτό το στάδιο και τα τρία σωστά.

    Και βεβαίως, σε μια κοινωνία όπου η φιγούρα (κοίτα πόσα πολλά έχει μάθει κιόλας το παιδί) υπερισχύει της γνώσης και της ποιότητας, μέσα στο λανθασμένο τρόπο διδασκαλίας μπαίνει συχνά και ο εκάστοτε δάσκαλος, ο οποίος τελικά προτιμάει την ποσότητα στη γνώση και όχι τη σωστή κατανόηση της γνώσης και την αναλυτική σκέψη. Και όπως λες κι εσύ «Αλλά αυτό δεν είναι απόδειξη ότι ξέρεις«.

  4. re sy coby, ta eipes ola!
    thanx gia to comment sou

    edit: την παράγραφό σου για τα γράμματα και τους ήχους ας τη διαβάσουν όσοι έχουν παιδιά που κάποιος «ειδικός» άδικα τα διέγνωσε δυσλεκτικά, βραδύγλωσσα, διαταραγμένα κτλ χωρίς να είναι και τα καταδίκασε σε δια βίου αμάθεια.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s